1 Ocak 1983 günü Yozgat’ın Akdağmadeni ilçesinde doğan Şevki Koç, profesyonel futbola da doğduğu şehrin takımı Yozgatspor’da genç yaşta başladı.
2002-2003 sezonunda Gaziantepspor’a transfer oldu. Üç buçuk sezon bu takımda oynadıktan sonra 2005-2006 sezonunun Ocak ayında Gaziantep Belediyespor’a kiralandı. Kiralık dönüşü 2006-2007 sezonunda İstanbulspor’umuza geldi ve bir sezon oynadı. Bu dönem içinde 27 maçta sarı siyahlı formayı giydi.
2007-2008 sezonunda durağı Ankaragücü oldu ve bir sezonda bu kulüpte oynadıktan sonra Tarsus İdman Yurdu’na transfer oldu. Bu kulüpteki bir sezon sonrası 2009-2010 sezonunun ilk devresini Batman Petrol Spor, ikinci devresini Kızılcahamamspor’da geçirdi. 2014-2015 sezonunda Gölbaşıspor’a geçinceye kadar Kızılcahamamspor’da kaldı. Daha sonra amatörlüğe dönerek Erdemli Belediyespor, Keçioren Bağlumspor, Mut İdmanyurdu kulüplerinde oynayıp aktif futbolculuk yaşamını noktaladı.
Şevki Koç aktif futbolculuk yaşantısında 3 defa U-21 milli takımımızın formasını giydi.
Futbolu bıraktıktan sonra teknik direktörlük yapan Şevki Koç’a sağlıklı ve mutlu bir yaşam dileriz.